גאוס ופרבולה ללמוד זרימות אור LED של מנורה ניסיונית: 6 שלבים

2024 מְחַבֵּר: John Day | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-30 09:12

שלום לכל היוצרים ולקהילה ההומה של Instructable.

הפעם מחקר Merenel יביא לכם בעיה מחקר טהורה ודרך לפתור אותה במתמטיקה.

הייתה לי בעיה זו בעצמי בזמן שחישבתי את שטף הלדים של מנורת LED RGB שבניתי (ושאותו אלמד לבנות). לאחר חיפוש מקיף באינטרנט לא מצאתי תשובה, אז הנה אני מפרסם את הפתרון.

הבעיה

לעתים קרובות מאוד בפיסיקה עלינו להתמודד עם עקומות בעלות צורת התפלגות גאוס. כן! זוהי העקומה בצורת פעמון המשמשת לחישוב ההסתברות והובאה אלינו מהמתמטיקאי הגדול גאוס.

עקומת גאוס נמצאת בשימוש נרחב ביישומים פיזיים בחיים האמיתיים, במיוחד כאשר עלינו להתמודד עם קרינה המופצת ממקור או מתקבלת ממקלט, למשל:

- פליטת הכוח של אות רדיו (למשל ה- Wi-Fi);

- השטף הזוהר הנפלט מנורת LED;

- קריאת פוטודיודה.

בגיליון הנתונים של היצרן אנו מקבלים לעתים קרובות את הערך האמיתי של השטח של הגאוס, שהוא הספק הכולל של קרינת הזרם או שטף האור בחלק מסוים של הספקטרום (למשל של LED), אך מתקשה לחשב את הקרינה בפועל נפלט בשיא העקומה או אפילו יותר קשה לדעת את הקרינה החופפת של שני מקורות קרובים, למשל אם אנו מאירים עם יותר מנורת LED (למשל כחול וירוק).

במאמר זה ניתן להסביר לך כיצד להעריך את הגאוס עם עקומה הרבה יותר קלה לתפיסה: פרבולה. אענה על השאלה: כמה עקומות גאוסות יש בפרבולה?

ספוילר → התשובה היא:

אזור הגאוס הוא תמיד יחידה אחת.

שטח הפרבולה המקבילה עם אותו בסיס וגובה הוא פי 2.13 מהשטח הגאוס היחסי (ראו תמונה להדגמה הגרפית).

אז גאוס הוא 46.94% מהפרבולה שלו והקשר הזה תמיד נכון.

שני מספרים אלה קשורים באופן זה 0.46948 = 1/2.13, זהו היחס המתמטי הקפדני בין עקומה גאוסית לפרבולה שלה ולהיפך.

במדריך זה אוביל אותך לגלות את זה שלב אחר שלב.

הכלי היחיד שנזדקק לו הוא Geogebra.org, כלי מתמטי מקוון לציור תרשימים.

ניתן למצוא בקישור זה את תרשים הגיאוגברה שעשיתי כדי להשוות פרבולה לגאוסייה.

ההנחיה היא ארוכה כי היא עוסקת בהדגמה, אבל אם אתה צריך לפתור במהירות את אותה הבעיה שהייתה לי עם שטחי אור LED, או תופעה אחרת עם עקומות גאוסות חופפות, אנא קפוץ לגיליון האלקטרוני שתמצא מצורף בשלב 5 במדריך זה, אשר יהפכו את חייך לקלים יותר ויבצעו באופן אוטומטי את כל החישובים עבורך.

אני מקווה שאתה אוהב מתמטיקה שימושית מכיוון שהמדריך הזה עוסק בזה.

שלב 1: הבנת האור הנפלט מנורת LED מונוכרומטית

בניתוח זה אבחן סדרה של LED צבעוני, כפי שאתה רואה בבירור מתרשים הספקטרום שלהם (תמונה ראשונה) חלוקת הכוח הספקטראלית שלהם באמת נראית כמו גאוס המתכנס לציר x ב -33 ו +33 ננומטר של הממוצע (יצרנים בדרך כלל נותן את המפרט הזה). עם זאת, קח בחשבון שהייצוג של תרשים זה מנרמל את כל הספקטרום ביחידת כוח אחת, אך ללדים יש כוח שונה בהתאם ליעילותם המיוצרים וכמה זרם חשמלי (mA) אתה מזין לתוכם.

כפי שאתה יכול לראות לפעמים שטף הזוהר של שתי LED חופפות על הספקטרום. נניח שאני רוצה בקלות לחשב את השטח החופף של אותן עקומות, כי באזור זה תהיה כמות הכוח הכפולה ואני רוצה לדעת כמה כוח בטמפ 'לומן (lm) יש לנו שם, טוב זה לא משימה קלה עליה ננסה להשיב במדריך זה. הבעיה התעוררה מכיוון שכאשר בניתי את המנורה הניסיונית מאוד רציתי לדעת עד כמה הספקטרום הכחול והירוק חופף.

נתמקד רק בנורות LED מונוכרומטיות שהן פולטות בחלק צר של הספקטרום. בתרשים: ROYAL BLUE, כחול, ירוק, כתום אדום, אדום. (המנורה בפועל שאני בונה היא RGB)

רקע פיסיקה

בואו נחזור אחורה ונעשה מעט הסבר פיזיקלי בהתחלה.

לכל LED יש צבע, או יותר מדעית היינו אומרים שיש לו אורך גל (λ) שקובע אותו ואשר הוא נמדד בננומטר (nm) ו- λ = 1/f, כאשר f הוא תדירות התנודה של הפוטון.

אז מה שאנו מכנים אדום הוא בעצם חבורה (גדולה) של פוטונים המתנדנדים ב -630 ננומטר, הפוטונים האלה פוגעים בחומר ומקפצים בעינינו, הפועלים כקולטנים, ואז המוח שלך מעבד את צבע האובייקט כאדום; או שהפוטונים יכלו להיכנס ישירות לעיניך ותראה את הנורית שפולטת אותם זוהרת בצבע אדום.

התגלה כי מה שאנו מכנים אור הוא למעשה רק חלק קטן מהספקטרום האלקטרומגנטי, בין 380 ננומטר ל -740 ננומטר; כך שאור הוא גל אלקטרומגנטי. מה שמסקרן לגבי החלק הזה של הספקטרום הוא שדווקא נתח הספקטרום עובר ביתר קלות במים. נחש מה? אבותינו הקדמונים מהמרק הקדמוני היו למעשה במים, והוא נמצא במים שבהם היצורים החיים הראשונים, המורכבים יותר, החלו לפתח עיניים. אני מציע לך לצפות בסרטון מאת Kurzgesagt שצירפתי כדי להבין טוב יותר מהו אור.

לסיכום LED פולט אור, שהוא כמות מסוימת של הספק רדיומטרי (mW) באורך גל מסוים (nm).

בדרך כלל, כאשר אנו מתמודדים עם אור גלוי אנו לא מדברים על כוח רדיומטרי (mW) אלא על שטף אור (lm), שהוא יחידת מידה שנשקלת בתגובה לאור הנראה לעיני בני אדם, הוא נובע מהצורה יחידת מידה של קנדלה, והיא נמדדת בלומן (lm). במצגת זו נשקול את הלומנים הנפלטים מנורות LED אך הכל יחול על mW בדיוק באותה מידה.

בכל גליון נתונים של LED היצרן ייתן לך פיסות מידע אלה:

לדוגמה מתוך גליון הנתונים המצורף אתה רואה שאם אתה מפעיל את שניהם עם 100mA יש לך את זה:

כחול הוא ב 480nm ויש לו 11lm של שטף אור;

גרין הוא בגודל 530nm ויש לו 35lm של שטף אור.

המשמעות היא שעקומת הכחול הגאוס תהיה גבוהה יותר, היא תתגבר יותר, מבלי לשנות את רוחבה והיא תתנדנד סביב החלק המופרד על ידי הקו הכחול. במאמר זה אסביר כיצד לחשב את גובה הגאוס המבטא את מלוא עוצמת השיא הנפלטת מהנורית, לא רק הכוח הנפלט בחלק זה של הספקטרום, למרבה הצער ערך זה יהיה נמוך יותר. יתר על כן, אנסה לקרב את החלק החופף של שני הלדים כדי להבין כמה שטף זוהר חופף כאשר עסקינן בלדים שהם "שכנים" בספקטרום.

מדידת שטף הלדים היא עניין מורכב מאוד, אם אתה להוט לדעת יותר העליתי נייר מפורט של אוסרם המסביר כיצד הדברים נעשים.

שלב 2: היכרות עם הפרבולה

לא אכנס לפרטים רבים על מהי פרבולה מכיוון שהיא נלמדת בהרחבה בבית הספר.

ניתן לכתוב משוואה של פרבולה בצורה הבאה:

y = ax^2+bx+c

ארכימדס עוזרת לנו

מה שהייתי רוצה להדגיש הוא משפט גיאומטרי חשוב של ארכימדס. מה שאומר המשפט הוא ששטח הפרבולה המוגבלת במלבן שווה ל 2/3 של שטח המלבן. בתמונה הראשונה עם הפרבולה אפשר לראות שהשטח הכחול הוא 2/3 והאזורים הוורודים הם 1/3 משטח המלבן.

אנו יכולים לחשב את הפרבולה ואת המשוואה שלה בידיעה שלוש נקודות של הפרבולה. במקרה שלנו נחשב את הקודקוד ואנו מכירים את הצמתים עם ציר x. לדוגמא:

כחול LED כחול (480,?) ה- Y של הקודקוד שווה לעוצמת הזוהר הנפלטת באורך גל השיא. כדי לחשב אותו נשתמש ביחס הקיים בין שטח הגאוס (השטף האמיתי הנפלט על ידי ה- LED) לזה של הפרבולה ונשתמש במשפט ארכימדס כדי לדעת את גובה המלבן המכיל את הפרבולה הזו.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

דגם פרבולי

כשמסתכלים על התמונה שהעליתי אפשר לראות מודל מורכב לייצוג באמצעות פרבולות כמה שטפי אור LED שונים, אך אנו יודעים שהייצוג שלהם אינו בדיוק כזה שכן הוא דומה יותר לגאוסייה.

עם זאת, עם פרבולות, באמצעות נוסחאות מתמטיות אנו יכולים למצוא את כל נקודות החיתוך של כמה פרבולות ולחשב את האזורים המצטלבים.

בשלב 5 צירפתי גיליון אלקטרוני שבו הכנסתי את כל הנוסחאות לחישוב כל הפרבולות והאזורים המצטלבים שלהן של הלדים המונוכרומטיים.

בדרך כלל, הבסיס של הגאוס של LED הוא 66 ננומטר גדול, כך שאם נדע את אורך הגל הדומיננטי ואנו מקרבים את קרינת ה- LED עם פרבולה אנו יודעים שהפרבולה היחסית תחתוך את ציר ה- x ב- λ+33 ו- λ-33.

זהו דגם המקורב אור נפוץ LED הכולל פרבולה. אבל אנחנו יודעים שאם אנחנו רוצים לדייק זה לא בדיוק נכון, נצטרך להשתמש בעקומות של גאוס, מה שמביא אותנו לשלב הבא.

שלב 3: היכרות עם העקומה הגאוסית

גאוס היא עקומה שתישמע מורכבת יותר מפרבולה. הוא הומצא על ידי גאוס לפרש שגיאות. למעשה, עקומה זו שימושית מאוד לראות את ההתפלגות ההסתברותית של תופעה. ככל שאנו נעים לשמאל או לימין מהממוצע יש לנו תופעה מסוימת פחות שכיחה וכפי שאתה יכול לראות מהתמונה האחרונה עקומה זו היא קירוב טוב מאוד של התרחשויות בחיים האמיתיים.

הנוסחה הגאוסית היא הנוסחה המפחידה שאתה רואה כתמונה שנייה.

המאפיינים הגאוסיים הם:

- זהו כבוד סימטרי לממוצע;

- x = μ לא רק חופף לממוצע האריתמטי אלא גם לחציון ולמצב;

- הוא אסימפטוטי בציר ה- x מכל צד;

- הוא יורד עבור xμ;

- יש לו שתי נקודות הטייה ב- x = μ-σ;

- השטח מתחת לעקומה הוא יחידה אחת (בהיותה ההסתברות שכל x יוודא)

σ היא סטיית התקן, ככל שהמספר גדול יותר כך הבסיס הגאוסי רחב יותר (תמונה ראשונה). אם ערך נמצא בחלק 3σ היינו יודעים שהוא באמת מתרחק מהממוצע ויש פחות סיכוי שזה יקרה.

במקרה שלנו, עם נוריות LED, אנו מכירים את השטח של הגאוס שהוא השטף הזוהר הנתון בגיליון הנתונים של היצרן בשיא אורך גל נתון (שזה הממוצע).

שלב 4: הדגמה באמצעות Geogebra

בפרק זה אדע כיצד להשתמש ב- Geogebra כדי להדגים כי פרבולה היא פי 2.19 מהגאוס שלה.

ראשית עליך ליצור מספר משתנים, ולחץ על פקודת המחוון:

סטיית התקן σ = 0.1 (סטיית התקן מגדירה עד כמה עקומת הגאוס רחבה, שמתי ערך קטן מכיוון שרציתי להקטין אותה כדי לדמות התפלגות כוח ספקטרלית LED)

הממוצע הוא 0 ולכן הגאוס בנוי על ציר y, שם קל יותר לעבוד.

לחץ על פונקציית הגל הקטן כדי להפעיל את קטע הפונקציות; שם על ידי לחיצה על fx אתה יכול להכניס את הנוסחה הגאוסית ותראה על גבי המסך עקומת גאוס גבוהה וגבוהה.

מבחינה גרפית תוכלו לראות היכן העקומה מתכנסת בציר ה- x, במקרה שלי ב- X1 (-0.4; 0) ו- X2 (+0.4; 0) והיכן הקודקוד הוא ב- V (0; 4).

בשלוש הנקודות הללו יש לך מספיק מידע כדי למצוא את משוואת הפרבולה. אם אינך מעוניין לבצע חישוב ביד אל תהסס להשתמש באתר זה או בגיליון האלקטרוני בשלב הבא.

השתמש בפקודת הפונקציה (fx) כדי למלא את פונקציית הפרבולה שמצאת זה עתה:

y = -25x^2 +4

כעת עלינו להבין כמה גאוסים נמצאים בפרבולה.

יהיה עליך להשתמש בפקודה function ולהכניס את הפקודה Integral (או Integrale במקרה שלי, כפי שהשתמשתי בגרסה האיטלקית). האינטגרל המובהק הוא הפעולה המתמטית המאפשרת לנו לחשב את שטח הפונקציה המוגדרת בין x לערכים. אם אינך זוכר מהו אינטגרל מובהק, קרא כאן.

a = אינטגרלי (f, -0.4, +0.4)

נוסחת גיאוגברה זו תפתור את האינטגרל המוגדר בין -0.4 ל- +0.4 של הפונקציה f, הגאוס. כפי שאנו מתמודדים עם גאוס שטחו הוא 1.

עשו את אותו הדבר עבור הפרבולה ותגלו את מספר הקסם 2.13. שזהו מספר המפתח לביצוע כל המרות שטף האור עם נוריות LED.

שלב 5: דוגמה לחיים אמיתיים עם נוריות LED: חישוב שיא השטף והשטפים החופפים

שטף זוהר בשיא

לחישוב הגובה האמיתי של הקימורים הגאוסיים המעוררים של התפלגות שטף ה- LED, כעת לאחר שגילינו את גורם ההמרה 2.19, קל מאוד.

לדוגמה:

ל- BLUE LED יש 11lm של שטף אור

- אנו ממירים את השטף הזה מגאוס לפרבולי 11 x 2.19 = 24.09

- אנו משתמשים במשפט ארכימדס לחישוב שטח המלבן היחסי המכיל את הפרבולה 24.09 x 3/2 = 36.14

- אנו מוצאים את גובה המלבן המתחלק לבסיס הגאוס עבור הנורית הכחולה, הנתון בגליון הנתונים או שנראה בתרשים גליון הנתונים, בדרך כלל בסביבות 66 ננומטר, וזהו כוחנו בשיא 480 ננומטר: 36.14 / 66 = 0.55

אזורי שטף זוהרים חופפים

לחישוב שתי קרינות חופפות אסביר באמצעות דוגמה עם שתי הלדים הבאים:

הכחול הוא ב 480nm ויש לו 11lm של שטף אור הוא ירוק ב 530nm ויש לו 35lm של שטף אור

אנו יודעים ורואים מהתרשים ששתי העקומות הגאוסיות מתכנסות ב -33 ננומטר ו -33 ננומטר, כתוצאה מכך אנו יודעים כי:

- כחול חוצה את ציר ה- x ב -447 ננומטר וב -531 ננומטר

- ירוק חוצה את ציר ה- x ב- 497nm וב- 563nm

אנו רואים בבירור ששתי העקומות מצטלבות כקצה אחד של הראשון הוא לאחר תחילת השני (531 ננומטר> 497 ננומטר) ולכן האור של שתי הלדים הללו חופף בנקודות מסוימות.

ראשית עלינו לחשב את משוואת הפרבולה לשניהם. הגיליון האלקטרוני המצורף נמצא שם כדי לעזור לך בחישובים, והוא הטביע את הנוסחאות לפתרון מערכת המשוואות כדי לקבוע את שתי הפרבולות שיודעות את ציר x המצטלבים בין הנקודות החודשיות:

פרבולה כחולה: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

פרבולה ירוקה: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

בשני המקרים a> 0 ו-, כך שהפרבולה מכוונת נכון הפוך.

כדי להוכיח שהפרבולות האלה נכונות פשוט מלאו a, b, c במחשבון הקודקוד באתר מחשבון הפרבולות הזה.

בגיליון האלקטרוני כל החשבון כבר נעשה כדי למצוא את נקודות החיתוך בין הפרבולות ולחשב את האינטגרל המובהק כדי להשיג את האזורים המצטלבים של אותן פרבולות.

במקרה שלנו האזורים המצטלבים של ספקטרום LED כחול וירוק הם 0.4247.

ברגע שיש לנו את הפרבולות המצטלבות נוכל להכפיל את השטח המצטלב החדש הזה למכפיל הגאוס 0.4694 ולמצוא קירוב קרוב מאוד לכמה כוח הנוריות פולטות יחד בסך הכל באותו קטע של הספקטרום. כדי למצוא את שטף ה- LED היחיד הנפלט בקטע זה פשוט חלקו ב -2.

שלב 6: לימוד הנורות המונוכרומטיות של מנורת הניסוי הסתיים כעת

ובכן, תודה רבה שקראת את המחקר הזה. אני מקווה שזה יועיל לך להבין לעומק כיצד אור נפלט מנורה.

למדתי את שטף הלדים של מנורה מיוחדת העשויה משלושה סוגים של נוריות מונוכרומטיות.

"המרכיבים" להכנת מנורה זו הם:

- 3 LED BLU

- 4 ירוק לד

- 3 LED אדום

- 3 נגדים להגבלת הזרם בענפי מעגל ה- LED

- ספק כוח 12V 35W

- כריכה אקרילית מובלטת

- בקרת OSRAM OT BLE DIM (יחידת בקרת LED Bluetooth)

- גוף קירור מאלומיניום

- מודגשים ואגוזים מסוג M5 וסוגריים L

שלוט בהכל עם אפליקציית Casambi מהסמארטפון שלך, אתה יכול להדליק ולעמעם כל ערוץ LED בנפרד.

בניית המנורה היא פשוטה מאוד:

- חבר את הנורית לגוף הקירור בעזרת סרט דו צדדי;

- הלחם את כל ה- BLU LED בסדרה עם נגד, ועשה את אותו הדבר עם הצבע השני עבור כל ענף של המעגל. על פי הלדים שתבחר (השתמשתי ב- Lumileds LED) יהיה עליך לבחור את גודל הנגד ביחס לכמות הזרם שתזין לתוך הלד ולמתח הכולל שניתן על ידי אספקת החשמל של 12V. אם אינך יודע כיצד לעשות זאת, אני מציע לך לקרוא את ההנחיה הנהדרת הזו כיצד לקבוע את גודל הנגד כדי להגביל את הזרם של סדרת נוריות LED.

-חבר את החוטים לכל ערוץ של ה- Osram OT BLE: כל החיובי העיקרי של ענפי הלדים עובר למשותף (+) ושלושת השלילי של הענפים הולך בהתאמה ל- -B (כחול) -G (ירוק) -R (אדום).

- חברו את ספק הכוח לקלט של ה- Osram OT BLE.

עכשיו מה שמגניב ב- Osram OT BLE הוא שאתה יכול ליצור תרחישים ולתכנת את ערוצי ה- LED, כפי שאתה יכול לראות בחלק הראשון של הסרטון אני מעמיס את שלושת הערוצים ובחלק השני של הסרטון אני משתמש בכמה תרחישי אור מוכנים מראש.

מסקנות

השתמשתי בהרחבה במתמטיקה כדי להבין לעומק כיצד השטף של מנורות זו יתפשט.

אני באמת מקווה שלמדת משהו מועיל היום ואני אעשה כמיטב יכולתי להביא למקרים נוספים להוראה של מחקר יישומי מעמיק כמו זה.

מחקר הוא המפתח!

כל כך ארוך!

פייטרו