עקומת הברכיסטוכרונה: 18 שלבים (עם תמונות)

2024 מְחַבֵּר: John Day | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-30 09:14

עקומת הברכיסטוכרונה היא בעיה בפיסיקה קלאסית, המובילה את הדרך המהירה ביותר בין שתי נקודות A ו- B הנמצאות בגבהים שונים. למרות שבעיה זו עשויה להיראות פשוטה היא מציעה תוצאה נגדית ואינטואיטיבית ולכן היא מרתקת לצפייה. במדריכים אלה תלמד על הבעיה התיאורטית, יפתח את הפתרון ולבסוף יבנה מודל המדגים את המאפיינים של עקרון הפיזיקה המדהים הזה.

פרויקט זה מיועד לתלמידי תיכון כפי שהם מכסים מושגים קשורים בשיעורי תיאוריה. פרויקט מעשי זה לא רק מחזק את האחיזה שלהם בנושא, אלא גם מציע סינתזה של מספר תחומים נוספים לפיתוח. לדוגמה, בעת בניית המודל, התלמידים ילמדו על אופטיקה באמצעות חוק סנל, תכנות מחשבים, דוגמנות תלת מימד, שבירה דיגיטלית וכישורי עץ בסיסיים. זה מאפשר לכיתה שלמה לתרום את חלוקת העבודה בינה לבין עצמה, מה שהופך אותה למאמץ צוותי. הזמן הנדרש לביצוע פרויקט זה הוא סביב שבוע ולאחר מכן ניתן להדגים אותו בפני הכיתה או בפני תלמידים צעירים יותר.

אין דרך טובה יותר ללמוד מאשר באמצעות STEM, אז המשך להכין דגם ברכיסטוכרון עובד משלך. אם אתה אוהב את הפרויקט, הצביע עבורו בתחרות הכיתה.

שלב 1: בעיה תיאורטית

בעיית הברכיסטוכרונה היא בעיה המסתובבת סביב מציאת עקומה המצטרפת לשתי נקודות A ו- B הנמצאות בגבהים שונים, כך ש- B אינה ישירה מתחת ל- A, כך שנפילת שיש בהשפעת שדה כבידה אחיד לאורך שביל זה להגיע ל- B בזמן המהיר ביותר האפשרי. הבעיה הציבה יוהאן ברנולי בשנת 1696.

כאשר שאל יוהן ברנולי את בעיית הברכיסטוכרון, ביוני 1696, לקוראי אקטה ארדיטורום, שהיה אחד העיתונים המדעיים הראשונים בארצות דוברות הגרמנית באירופה, קיבל תשובות מ -5 מתמטיקאים: אייזיק ניוטון, יעקב ברנולי., גוטפריד לייבניץ, ארנפריד וולטר פון צירנהאוס וגיום דה ל'אשפוז לכל אחת יש גישות ייחודיות!

התראה: השלבים הבאים מכילים את התשובה וחושפים את היופי מאחורי הדרך המהירה ביותר הזו. קח רגע לנסות ולחשוב על הבעיה הזו, אולי תוכל לפצח אותה בדיוק כמו אחד מחמשת הגאונים האלה.

שלב 2: שימוש בחוק סנל להפגנה

אחת הגישות לפתרון בעיית הברכיסטוכרונה היא לטפל בבעיה על ידי ציור אנלוגיות עם חוק סנל. חוק סנל משמש לתיאור הנתיב שאליו קרן אור הייתה עוברת כדי להגיע מנקודה אחת לאחרת תוך מעבר בשני אמצעי תקשורת שונים, תוך שימוש בעקרון של פרמאט, שאומר שקרן אור תלך תמיד בדרך המהירה ביותר. ניתן למצוא גזירה רשמית של משוואה זו על ידי ביקור בקישור הבא.

מכיוון שניתן להשוות אובייקט הנופל בחופשיות בהשפעת שדה הכבידה לקרן אור העוברת במדיה משתנה, בכל פעם שקרן האור נתקלת במדיום חדש, הקרן מעט סטה. ניתן לחשב את הזווית של סטייה זו באמצעות חוק סנל. כאשר ממשיכים להוסיף שכבות של צפיפות צמצומה מול קרן האור החורגת, עד שהקרן מגיעה לזווית הקריטית, שם הקרן פשוט משתקפת, מסלול הקורה מתאר את עקומת הברכיסטוכרונה. (העקומה האדומה בתרשים למעלה)

עקומת הברכיסטוכרונה היא למעשה ציקלואיד שהוא העקומה שמעקב אחר נקודה בשפתו של גלגל מעגלי כשהגלגל מתגלגל לאורך קו ישר מבלי להחליק. כך שאם אנו צריכים לצייר את העקומה אפשר פשוט להשתמש בשיטה למעלה כדי ליצור אותה. תכונה ייחודית נוספת של העקומה היא שלכדור המשתחרר מכל נקודה של העקומה ייקח בדיוק אותו זמן להגיע לתחתית. השלבים הבאים מתארים את תהליך ביצוע ניסוי בכיתה על ידי בניית מודל.

שלב 3: מודל ניסוי מעשי

המודל מורכב מנתיבי לייזר שפועלים כמסלולים לגולות. כדי להדגים כי עקומת הברכיסטוכרונה היא הדרך המהירה ביותר מנקודה A עד B החלטנו להשוות אותה לשני נתיבים אחרים. מכיוון שלא מעט אנשים ירגישו באופן אינטואיטיבי שהחלק הקצר ביותר הוא המהיר ביותר החלטנו לשים שיפוע ישר המחבר בין שתי הנקודות כנתיב השני. השלישית היא עקומה תלולה, שכן אפשר היה להרגיש שהירידה הפתאומית תייצר מספיק מהירות כדי לנצח את השאר.

הניסוי השני שבו הכדורים משתחררים מגבהים שונים על שלושה שבילים של ברכיסטוכרונה, ומביא את הכדורים להגיע בו זמנית. כך הדגם שלנו כולל מדריכים מודפסים בתלת -ממד המספקים החלפה קלה בין לוחות האקריליק המאפשרים לבצע את שני הניסויים.

לבסוף מנגנון השחרור מבטיח שהכדורים נשמטים יחד ומודול התזמון בתחתית רושם את העיתוי כשהכדורים מגיעים לתחתית. כדי להשיג זאת הטמענו שלושה מתגי גבול המופעלים כאשר הכדורים מפעילים אותו.

הערה: אפשר פשוט להעתיק את העיצוב הזה ולהפוך אותו מקרטון או מחומרים אחרים הזמינים בקלות

שלב 4: חומרים דרושים

להלן החלקים והאספקה ליצירת מודל עבודה של ניסוי הברכיסטוכרונה

חומרה:

1 "עץ עץ אורן - מידות; 100 ס"מ על 10 ס"מ

Neodymium Magnetx 4 - ממדים; 1 ס"מ סנטימטר וגובהו 0.5 ס"מ

נימה להדפסה תלת-ממדית- PLA או ABS בסדר

תוספת הברגה M3 x 8 - (אופציונלי)

בורג M3 x 8 - אורך 2.5 ס"מ

בורג עץ x 3 - 6 ס"מ באורך

עץ Screwx באורך 12 - 2.5 ס"מ

מכשירי חשמל:

ארדואינו אונו

Limit Switchx 4- מתגים אלה ישמשו כמערכת התזמון

לחץ על הכפתור

תצוגת אל סי די

Jumpwire x רבים

העלות הכוללת של הדגם הגיעה לכ -3 0 $

שלב 5: הדפסה תלת מימדית

מספר חלקים כגון מנגנון השחרור ותיבת הבקרה נעשו בעזרת מדפסת תלת מימד. הרשימה הבאה מכילה את מספר החלקים הכולל ומפרטי ההדפסה שלהם. כל קבצי STL מסופקים בתיקייה המצורפת למעלה, ומאפשרת לבצע את השינויים הנדרשים במידת הצורך.

תיבת בקרה x 1, 20% מילוי

מדריך x 6, מילוי של 30%

End Stop x 1, 20% מילוי

זרוע ציר x 1, מילוי של 20%

Pivot Mount x 1, 30% מילוי

שחרור חתיכת x 1, מילוי של 20%

החלקים הודפסו ב- PLA מכיוון שאין לחץ מיוחד על החלקים. בסך הכל זה לקח בערך 40 שעות הדפסה.

שלב 6: חיתוך בלייזר של השבילים

הנתיבים השונים שעיצבנו ב- fusion 360 יוצאו כקבצי.dxf ולאחר מכן חתכו אותם בלייזר. בחרנו באקריליק לבן אטום בעובי 3 מ מ כדי ליצור את הקימורים. אפשר אפילו להפוך אותו מעץ בעזרת כלי יד, אך חשוב לוודא שהחומר שנבחר יהיה נוקשה מכיוון שהגמישות עשויה להשפיע על אופן התגלגלות הכדורים.

6 x עקומת ברכיסטוכרונה

2 x עקומת תלולה

2 x עקומה ישרה

שלב 7: חיתוך העץ

מסגרת הדגם עשויה עץ. בחרנו אורן אחד על 4 מכיוון שנשארו לנו כמה מהפרויקט הקודם, אם כי אפשר להשתמש בעץ לפי בחירתו. בעזרת מסור עגול ומדריך חתכנו שתי חתיכות עץ באורך:

48 ס"מ שזה אורך השביל

31 ס"מ שזה הגובה

ניקינו את הקצוות המחוספסים על ידי שיוף קל על מלטשת הדיסק.

שלב 8: קידוח החורים

לפני הברגת שני החלקים, סמן את עובי העץ בקצה אחד של החלק התחתון ומרכזו שלושה חורים במרחק שווה. השתמשנו במעט 5 מ מ ליצירת חור טייס על שתי חתיכות העץ ונגדנו את החור על החלק התחתון כדי לאפשר להניע את ראש הבורג בשטף.

הערה: היזהר שלא לפצל את חתיכת העץ האנכית מכיוון שאחד יתקוע לתוך גרגר הקצה. השתמש גם בברגי עץ ארוכים מכיוון שחשוב שהמסגרת לא רועדת והחלק העליון בגלל המינוף.

שלב 9: הטמעת כיורי החום והמגנטים

מכיוון שהחוטים בחלקים מודפסים בתלת מימד נוטים להישחק עם הזמן החלטנו להטביע כיורי חום. החורים מעט קטנים כדי לאפשר לגוף החום לאחוז טוב יותר בפלסטיק. הנחנו כיורי קירור M3 מעל החורים ודחפנו אותם פנימה עם קצה של מגהץ. החום ממיס את הפלסטיק ומאפשר לשיניים להיטבע פנימה. וודא שהן סומקות עם פני השטח ונכנסו בניצב. בסך הכל ישנם 8 נקודות לתוספות המושחלות: 4 למכסה ו -4 להרכבת ה- Arduino Uno.

כדי להקל על הרכבה של יחידת התזמון, הטמענו מגנטים בתיבה, מה שמקל על הניתוק אם נדרשים שינויים. המגנטים צריכים לכוון את אותו הכיוון לפני שהם נדחפים למקום. S

שלב 10: חיבור מתגי הגבול

שלושת בוררי הגבול מחוברים לצד אחד של יחידת התזמון שפונה לתחתית השבילים. כך כאשר הכדורים לוחצים על המתגים אפשר לקבוע לאיזה כדור הגיע ראשון ולהציג את התזמון על צג LCD. הלחמה על רצועות חוט קטנות אל הטרמינלים ואבטח אותן בחריצים בעזרת טיפת דבק CA מכיוון שהן לא אמורות להתרופף לאחר דפיקות רצופות.

שלב 11: תצוגת LCD

למכסה של יחידת התזמון יש חיתוך מלבני למסך ה- lcd וחור לכפתור "התחל". אבטחנו את המסך בעזרת גושי דבק חם עד שהיו שטופים עם פני המכסה ותיקנו את הכפתור האדום עם אגוז ההרכבה שלו.

שלב 12: חיווט האלקטרוניקה

החיווט מורכב מחיבור הרכיבים השונים לפינים הנכונים בארדואינו. עקוב אחר תרשים החיווט המצורף למעלה כדי להתקין את התיבה.

שלב 13: העלאת הקוד

קוד Arduino לפרויקט הברכיסטוכרונה ניתן למצוא במצורף להלן. ישנם שני פתחים בתא האלקטרוניקה לגישה נוחה ליציאת התכנות של הארדואינו ולשקע החשמל.

הכפתור האדום המצורף על גבי הקופסה משמש להפעלת הטיימר. ברגע שהגולות מגלגלות את הקימורים ומפעילים את מתגי הגבול, המוצבים בתחתית, התזמונים נרשמים ברצף. לאחר שכל שלושת הכדורים פגעו, מסך LCD מציג את התוצאות, מיושרות עם הקימורים המתאימים (תמונות מצורפות למעלה). לאחר שציינת את התוצאות במקרה שנדרשת קריאה שנייה, פשוט לחץ שוב על הכפתור הראשי כדי לרענן את הטיימר ולחזור על אותו תהליך.

שלב 14: מדריכי ההדפסה התלת -ממדית

למדריכים שהודפסו בתלת מימד היה בסיס חומר 3 מ מ לפני תחילת הקירות התומכים. לכן כאשר הלוחות האקריליקים יוחלקו למקומם יהיה פער בין הלוח למסגרת העץ, ויוריד את יציבות השביל.

לכן המדריך צריך להיות מוטבע על ידי 3 מ מ בעץ. מכיוון שלא היה לנו נתב, לקחנו אותו לבית מלאכה מקומי וגרמנו אותו במכונת כרסום. לאחר מעט שיוף ההדפסים התאימו היטב ויכולנו לאבטח אותו בעזרת ברגי עץ מהצד. למעלה מצורפת תבנית למיקום 6 המדריכים על מסגרת העץ.

שלב 15: הוספת הפקק ויחידת התזמון

מכיוון שמודול התזמון היה מערכת נפרדת החלטנו לבצע מערכת הרכבה וניתוק מהירה באמצעות מגנטים. בדרך זו ניתן לתכנת בקלות את ההוצאה היחידה. במקום ליצור תבנית להעברת המיקום של המגנטים שצריך להטביע בעץ פשוט נתנו להם להתחבר לאלה שעל הקופסה ואז לשים מעט דבק והנחנו את הקופסה על פיסת העץ. סימני הדבק הועברו לעץ ומאפשרים לנו לקדוח את החורים במהירות בנקודות המדויקות. לבסוף צרף את הפקק המודפס בתלת מימד ויחידת התזמון אמורה להתאים היטב אך תוכל להתנתק במשיכה קלה

שלב 16: מנגנון השחרור

מנגנון השחרור הוא פשוט. השתמש באום ובברג כדי לחבר היטב את קטע C לזרוע הציר, מה שהופך אותם לחלק מאובטח אחד. לאחר מכן נקדח שני חורים באמצע העץ האנכי והצמיד את ההר. החליקו פיר מסתובב והמנגנון הושלם.

שלב 17: הניסוי

כעת, כשהמודל מוכן אפשר לבצע את הניסויים הבאים

ניסוי 1

החלק בזהירות את לוחות האקריליק של השביל הישר, את עקומת הברכיסטוכרונה ואת השביל התלול (בסדר זה לקבלת האפקט הטוב ביותר). לאחר מכן משוך את הבריח כלפי מעלה והנח את שלושת הכדורים בחלק העליון של העקומה וודא שהם מיושרים זה לזה בצורה מושלמת. החזק אותם היטב במקום כשהתפס למטה. לגרום לתלמיד אחד לשחרר את הכדורים ועוד אחד לחץ על הכפתור האדום כדי להפעיל את מערכת התזמון. לבסוף התבוננו בכדורים המתגלגלים לאורך השביל ונתחו את התוצאות המוצגות במודול התזמון. הצבת מצלמה להקלטת סרטים בהילוך איטי מרגשת אף יותר מכיוון שניתן לראות את המירוץ מסגרת פריים.

ניסוי 2

כמו שקופית הניסוי הקודמת בלוחות האקריליק אך הפעם כל השבילים צריכים להיות עקומת הברכיסטונצ'רון. בקשו בזהירות מתלמיד להחזיק הפעם את שלושת הכדורים בגבהים שונים ולחץ על הכפתור האדום כשהכדורים משתחררים. צפו ברגע המדהים כשהכדורים מסתדרים בצורה מושלמת לפני קו הסיום ואשרו את התצפיות עם התוצאות.

שלב 18: סיכום

יצירת מודל הברכיסטוכרונה היא דרך מעשית לראות את הדרכים הקסומות שבהן המדע מתפקד. לא רק שהניסויים מהנים לצפייה ומרתקים, אלא שהם מציעים סינתזה של היבטים למידתיים. בעוד שמדובר בעיקר בפרויקט המיועד לתלמידי תיכון, הן מבחינה מעשית והן מבחינה תיאורטית, ניתן להדגים את ההפגנה הזו בקלות על ידי ילדים צעירים יותר ולהציגו כמצגת פשוטה.

ברצוננו לעודד אנשים לעשות דברים, בין אם זה הצלחה או כישלון, כי בסופו של יום STEM תמיד כיף! עשייה שמחה!

צא בהצבעה בתחרות הכיתה אם אהבת את ההוראות והשאיר את המשוב שלך בקטע ההערות.

פרס גדול בתחרות מדע בכיתה